3 第三章 小信号模型
路遥西北三千界，势压东南百万州。
三极管作为压控器件，微小的电压变化会引起大得多的电流变化，这个特性可以用来制作放大器。放大器作为模拟电路核心之一，有着非常多的应用。
3.1 三极管小信号模型
先来看个例子，对如图所示的电路进行分析：
让\(V_{in}\)从零开始逐渐增大，\(V_{out}\)是如何变化的？假设\(M_1\)的导通电压是0.7伏，从上一章可知\(V_{BE}\)小于导通电压时电流基本为零。\(M_1\)的发射极接地，因此\(V_{BE}\)等于\(V_{in}\)。当\(V_{in}\)小于0.7伏的时候，电路中没有电流，\(R_1\)没有电流流过，因此\(V_{out}\)和电源电压相同。
当\(V_{in}\)超过导通电压，流过\(M_1\)的电流大小用 式 2.8 计算：
\[ I_C \approx I_S e^{\frac{V_{in}}{V_T}} \tag{3.1}\]
输出电压等于电源电压减去\(R_1\)上的压降：
\[ V_{out} = V_{cc} - R_1 I_S e^{\frac{V_{in}}{V_T}} \tag{3.2}\]
\(V_{cc}\)电源电压等于12伏，\(R_1\)等于1千欧。从 式 3.2 可以看到，随着\(I_C\)不断增大，\(V_{out}\)在不断减小。当\(V_{out}\)减小到低于\(V_{CE,\text{sat}}\)，三极管会进入到饱和区，饱和区三极管类似于一个电阻。为了防止三极管进入饱和区，计算允许流过的最大电流：
\[ I_{\max} = \frac{V_{cc} - V_{CE,\text{sat}}}{R_1} \tag{3.3}\]
代入可得到\(I_{\max}\)等于11.8毫安。当电流为11.8毫安时根据 式 3.1 计算出输入电压大小：
\[ V_{in} = \ln\left( \frac{I_C}{I_S} \right) V_T \tag{3.4}\]
假设\(I_S\)等于\(10^{-15}\)安培，\(V_T\)在室温下约25毫伏，代入可得到\(V_{in}\)等于752毫伏。画出\(V_{in}\)和\(V_{out}\)关系图：
现在我们再来讨论什么是放大：
上图显示了输入一个直流电压在0.72伏、\(\Delta V_{in}\)（电压变化幅度）小于0.02伏的信号，经过这个放大电路后电压输出在 图 3.3 左侧，输出直流约在8伏。当输入电压有一个很小的改变，输出电压会做出一个巨大的变动，但由于放大器的非线性关系，输出并不是输入的成比例放大，而是会产生一定的失调。
对于放大器，我们应该关注的是输入变化量和输出变化量之间的关系，而不是单纯输入和输出的关系。定义放大系数\(A\)：
\[ A = \frac{\Delta V_{out}}{\Delta V_{in}} \tag{3.5}\]
根据 式 3.5 可以估算出 图 3.3 的信号大约被放大了15～20倍，而这是电阻电容电路无法做到的。现代集成运放的放大倍率可以轻松做到1000倍以上，半导体技术在其中发挥主要作用。
在 图 3.3 里即使输入的变化量在0.02伏范围内，输出摆幅也超过了电源电压的60%，可以想象在高增益的集成运放下，一点点电路噪声就可以使运放输出到最高或最低电压（运放增益虽然大，但输出也无法超过电源电压），这样运放完全没法工作。因此高增益放大器99%会工作在负反馈的条件下，负反馈可以保证输出电压变化很小。为了简化对这类信号的分析，需要引入小信号模型。
小信号是指在直流附近变化足够小的信号，小到不会改变电路的静态工作点（或者直流偏置）。 图 3.3 的输入对 图 3.1 的电路来说就不是小信号，因为它显著改变了三极管的电流。
要对三极管进行小信号分析，首先考虑三极管电流公式：
\[ I_C = I_S e^{\frac{V_{BE}}{V_T}} \tag{3.6}\]
对 式 3.6 在\(V_{BE,\text{bias}}\)处泰勒展开：
\[ I_C = I_S e^{\frac{V_{BE,\text{bias}}}{V_T}} + \frac{I_S}{V_T} e^{\frac{V_{BE,\text{bias}}}{V_T}}(V_{BE} - V_{BE,\text{bias}}) + \frac{I_S}{2 V_T^2} e^{\frac{V_{BE,\text{bias}}}{V_T}}(V_{BE} - V_{BE,\text{bias}})^2 + \dots \tag{3.7}\]
定义\(I_S e^{\frac{V_{BE,\text{bias}}}{V_T}}\)等于\(I_{C,\text{bias}}\)，\(V_{BE} - V_{BE,\text{bias}}\)等于\(\Delta V_{in}\)，则 式 3.7 可以写为：
\[ I_C = I_{C,\text{bias}} + \frac{I_{C,\text{bias}}}{V_T} \Delta V_{in} + \frac{I_{C,\text{bias}}}{2 V_T^2} \Delta V_{in}^2 + \dots \tag{3.8}\]
由于小信号的\(\Delta V_{in}\)足够小，使得\(\Delta V_{in}^2 \ll \Delta V_{in}\)，则 式 3.8 可以忽略所有高阶项：
\[ I_C \approx I_{C,\text{bias}} + \frac{I_{C,\text{bias}}}{V_T} \Delta V_{in} \tag{3.9}\]
从 式 3.9 可知，当小信号输入电压直流偏置在\(V_{BE,\text{bias}}\)时，三极管的电流在\(I_{C,\text{bias}}\)附近摆动，因为\(\Delta V_{in}\)足够小，可以认为三极管的电流基本保持不变。因此小信号分析就是把一个非线性的关系在工作点处线性化。
当把三极管\(V_{CE}\)变化也考虑进来时，对 式 2.12 线性化：
\[ I_C = I_{C,\text{bias}} + \left.\frac{\partial I_C}{\partial V_{BE}}\right|_{V_{BE,\text{bias}}} \Delta V_{BE} + \left.\frac{\partial I_C}{\partial V_{CE}}\right|_{V_{CE,\text{bias}}} \Delta V_{CE} \tag{3.10}\]
令\(g_m\)等于\(\left.\frac{\partial I_C}{\partial V_{BE}}\right|_{V_{BE,\text{bias}}}\)，表明的是在某个偏置下一点点\(V_{BE}\)的变化能带来的\(I_C\)变化；\(\left.\frac{\partial I_C}{\partial V_{CE}}\right|_{V_{CE,\text{bias}}} \Delta V_{CE}\)处可以等效为\(\frac{\Delta V_{CE}}{r_0}\)，表明\(V_{CE}\)增加可以带来\(I_C\)的抬升（回忆 图 2.17，\(V_{CE}\)增加\(I_C\)是线性增加的），则：
\[ \Delta I_C = g_m \Delta V_{BE} + \frac{\Delta V_{CE}}{r_0} \tag{3.11}\]
可以自行验证\(g_m\)等于 式 3.9 的\(\frac{I_{C,\text{bias}}}{V_T}\)。现在已经确定了集电极电流的小信号变化（式 3.11），发射极电流等于集电极电流加基极电流。基极电流\(I_B\)只和\(V_{BE}\)有关，当有\(\Delta V_{BE}\)的变化，基极会变化\(\frac{\partial I_B}{\partial V_{BE}} \Delta V_{BE}\)那么多的电流，这一项计算后等于\(\frac{\Delta V_{BE}}{r_\pi}\)，其中\(r_\pi\)等于\(\frac{\beta}{g_m}\)。
终于到这儿算是分析完了，记不住没关系，把上面这些东西归纳起来，可以得到下图：
小信号模型是针对在当前直流偏置下的交流变化等效的！所以 图 3.4 中\(V_{BE}\)，指的是原始信号的\(\Delta V_{BE}\)（式 3.10），小信号模型中的所有电压电流都是指原始电路直流上的变化！ 图 3.4 中\(V_{BE}\)等于\(V_\pi\)，\(r_\pi\)计算了\(V_{BE}\)能给\(I_B\)带来的抬升，\(r_\pi\)等于\(\frac{\beta}{g_m}\)。假设三极管在1毫安的直流偏置下\(\beta\)为100，此时\(g_m = \frac{I_{C,\text{bias}}}{V_T} = \frac{1\text{mA}}{25\text{mV}} = 0.04\,\Omega^{-1}\)，\(r_\pi\)等于2.5千欧。对于不同的偏置，\(r_\pi\)处于几千欧到几十千欧之间，\(r_0\)一般处于几百千欧以上。\(g_m V_\pi\)处符号是一个受控电流源，电流大小只与控制电压\(V_\pi\)有关。
假设 图 3.1 施加的是小信号，要探究放大倍数可以用 图 3.4 的小信号模型。在分析小信号模型的时候，电路里面的直流偏置电压（DC Bias）等价于交流地（AC Ground），画出 图 3.1 的等效小信号图：
电源电压作为直流偏置等价于交流上的地，请牢记小信号模型里面\(V_{in}\)是有着直流偏置的输入信号的改变量\(\Delta V_{in}\)，\(V_{out}\)也是在输出直流处变化的\(\Delta V_{out}\)。当输入端有\(V_{in}\)进来，受控电流源处会产生\(g_m V_{in}\)大小的电流，而这个电流从\(r_0 \parallel R_1\)而来，因此输出端电压是\(-g_m V_{in}(r_0 \parallel R_1)\)。
放大倍率\(A = \frac{-g_m V_{in}(r_0 \parallel R_1)}{V_{in}} \approx -g_m R_1\)，这样我们就能很方便地分析出放大倍率了。
3.2 共发射极放大器
图 3.5 的模型称为\(\pi\)-模型，因为形状像\(\pi\)，还有一个等价模型叫\(T\)-模型：
图中\(r_m\)是\(g_m\)的倒数，\(I_E\)的大小（其实是\(\Delta I_E\)）等于\(\frac{V_{BE}}{r_m}\)，\(\alpha\)是在上一章讲过的集电极电流和发射极电流的比值，在0.99左右接近于1，大部分时候可以忽略。\(T\)-模型里受控电流源的大小和方向只由\(I_E\)决定。\(\pi\)-模型和\(T\)-模型没有优劣之分，它们都可以对电路进行分析。
此外还需要讨论一下输入电阻（或输入阻抗）的问题。电阻的定义实际上是特定偏置下的\(\frac{\Delta v_{in}}{\Delta i_{in}}\)。对于三端口器件，某个端口看进去的输入电阻等于当前偏置下给输入端一个\(\Delta v_{in}\)，计算\(\Delta i_{in}\)后的比值，因此可以用小信号模型计算三极管等效电阻。
先计算基极：
把其他两个端口置零（直流偏置在小信号下为零），给基极施加一个测试电压\(v_{in}\)，计算测试电流\(i_x\)的大小：\(i_x = (1 - \alpha) I_E = (1 - \alpha)\frac{v_{in}}{r_m}\)，所以基极端的输入电阻是\(\frac{v_{in}}{i_x} = r_\pi\)。
同样可以计算出发射极输入电阻等于\(r_m\)，集电极输入电阻等于\(r_0\)，这些电阻都是基于某个直流偏置而言的，是当前偏置下输入电压电流曲线的斜率。
\(r_m\)一般在几十欧左右，\(r_\pi\)几千到几十千欧，\(r_0\)大约几百千欧。为什么要考虑输入电阻？因为对于连接到端口的外部元件来说，并不知道连接的是一个三极管还是二极管或者电阻，有的只是对于当前信号的电压电流关系，这个关系在小信号里面可以用电阻等效，例如：
对于一个来自前端的信号，它自身往往带有一个50欧左右的输出电阻。这样的信号输入到基极的时候，信号源并不知道它连接了一个什么东西，真正决定能输入到基极端的信号大小取决于自身输出电阻和基极端输入电阻的分压（图 3.9），如果输入电阻过小，信号是无法传递到基极的。
有了上面这些概念以后，首先介绍共发射极放大电路：
共发射极就是我们早就见过的 图 3.1 的电路，输入端为基极，输出端为集电极，“共”指的是除开输入输出剩下的那个端口。共发射极放大器增益：
\[ A = -g_m (R_D \parallel r_0) \approx -g_m R_D \tag{3.12}\]
它是一个反相放大器，当输入增加的时候输出会下降。从 式 3.12 可以知道为了获得足够高的增益，希望\(R_D\)越大越好，但过大的阻值意味着电阻需要消耗很多电压来维持电流，例如1毫安电流下10千欧的电阻会消耗10伏的压降。如果电源电压为12伏，输出端电压就会偏置在2伏，为了防止三极管进入饱和区，输出幅度往下的摆幅不能超过1.6伏，这样会极大地限制放大器应用场景。因此一般情况下需要选择合适的电流偏置和阻值使输出电压落在电源电压一半左右。
共发射极放大器有着较高的输入阻抗\(r_\pi\)。三极管输出阻抗的计算方式是输入端接地后，从输出端得到的\(\frac{\Delta v_{in}}{\Delta i_{in}}\)（用小信号模型计算）。由于\(R_D\)的缘故，从输出端往上看看到一个\(R_D\)，往下看是三极管集电极，看到一个约\(r_0\)大小的电阻：
因此对小信号来说\(R_{out} = R_D \parallel r_0\)，输出电阻大小和\(R_D\)相当，约在千欧左右，这表明对于电压信号，输出端并不适合接一个低阻抗的负载，比如考虑如下情景：
在输出端接有一个50欧的负载，差不多是一个耳机的输入阻抗大小，通过小信号模型计算增益大小：
这种情况下受控源的电流由\(r_0 \parallel R_D \parallel R_L\)产生，\(R_L\)足够小的情况下电路增益变为\(-g_m R_L\)，相比于 式 3.12 增益缩小可达几十倍。因此它不能直接接低阻抗负载，需要在中间加一个缓冲器，这也是下一小节的内容。
3.3 共集电极放大器
共集电极放大器也叫跟随器或缓冲器（buffer），如图所示：
首先对小信号行为进行分析，如果三极管下方不是直接接地，用\(T\)-模型会更方便些：
可以看出\(V_{out}\)就是\(V_{in}\)的分压，电压增益：
\[ A = \frac{R_1}{R_1 + r_m} \tag{3.13}\]
\(r_m\)处于几十欧的级别，若\(R_1\)相对于\(r_m\)来说足够大，\(A \approx 1\)，输出电压相比于输入电压存在0.7伏左右的压降。
再来考虑大信号，当信号变化能引起偏置电流产生足够大的变化，假设当前有：
\[ I_S e^{\frac{V_{in,\text{bias}} - V_{out,\text{bias}}}{V_T}} = \frac{V_{out,\text{bias}}}{R_1} \tag{3.14}\]
此刻输入端有较大增量\(\Delta V_{in}\)进来，假设会导致输出有\(\Delta V_{out}\)的变化，那么新的偏置电流满足：
\[ I_S e^{\frac{V_{in,\text{bias}} + \Delta V_{in} - V_{out,\text{bias}} - \Delta V_{out}}{V_T}} = \frac{V_{out,\text{bias}} + \Delta V_{out}}{R_1} \tag{3.15}\]
要从 式 3.15 解出\(\Delta V_{out}\)和\(\Delta V_{in}\)的关系挺难的，它是一个超越方程，只能从数值上去近似求解。更好的办法是跑一下模拟来看波形：
上图中蓝色的是输入信号，红色的是输出信号，粉色曲线是电流。电阻\(R_1\)是600欧，三极管基极偏压在6.7伏，可以看到输出与输入跟随效果较好，存在约0.7伏的压降。
计算跟随器的输入输出电阻，从输入端看到一个约\(r_\pi\)大小的电阻，从输出端看到的是\(r_m\)和\(R_1\)的并联。输入电阻较大，输出电阻较小，把它接在上一小节的放大器后面可以保证增益不会掉落的同时能够带动低负载。
3.4 共基极放大器
共基极放大器从发射极输入，集电极输出，基极绑定在某个固定电压：
同样分析小信号电路：
\[ I_E = \frac{V_{in}}{r_m} \tag{3.16}\]
\(r_0\)足够大假设为断路，则流入\(R_D\)的电流是\(\alpha I_E\)，输出电压等于：
\[ V_{out} = \alpha \frac{V_{in}}{r_m} R_D \tag{3.17}\]
增益：
\[ A = \alpha g_m R_D \approx g_m R_D \tag{3.18}\]
可见共基极放大器和共发射极放大器增益一样，一个为同相放大，一个为反相放大。但共基极放大器的输入电阻为\(r_m\)，输入电阻过小不适合用电压进行输入，更适合电流当作信号输入到发射极。
3.5 差分电路
以上这些单端放大电路需要有合适的偏压点来正常工作，用两个电阻分压来固定一个电位是最简单的方式，但电阻不可避免地会在输入端引入噪声，特别是当输入信号幅度很小的时候。为了应对噪音的干扰，人们发明了差分电路，而差分电路正是集成运放的基础。
首先需要介绍差分信号，如图所示：
差分信号（differential signal）等于差模信号（differential mode signal）加上共模信号（common mode signal）。共模信号\(V_{cm}\)指的是共同的直流上的电压，差模信号指的是大小相等、符号相反的一对信号，在 图 3.19 中就是\(\pm V_{in}\)，因此差分信号处在同一直流水平，变化幅度相反。
差分信号的一个优点是抗干扰能力强：
任何信号都可以变为差分的形式。 图 3.20 共模电压为零，假设差分路径上存在一个干扰源，那么这个干扰会同时影响到差分信号\(A\)和\(A'\)，但干扰方向和大小是相同的，使得差分信号变成了\(B\)和\(B'\)，这样\(B\)和\(B'\)相减还原出来的信号和原来保持不变，达到了对噪声的抗干扰能力。
知道了什么是差分信号之后，下一步就是讨论差分电路的核心：差分对（differential pair）：
差分对由一对三极管\(M_1\)和\(M_2\)组成，它们要在制程工艺上越接近越好，理想情况下\(M_1\)和\(M_2\)的各项参数完全相同，它们的发射极接到一起连接着一个电流源到电路最低电压。
严格来说真正的差分对下方接的是一个电流源，下方接一个电阻的被称为“伪差分对”。然而在目前我们了解的电子元件里面，找不到一个叫电流源的东西。电压源可以是5号电池、7号电池、纽扣电池等，但电流源是长什么样的？其实是用三极管做的，这个内容将放在下一章来说明。
总之先假设存在一个理想电流源（内阻无限大，电流源两边无论电压多大电流都保持不变），并让差分对上面接入负载组成一个简单的差分放大电路：
图 3.22 中\(M_1\)和\(M_2\)匹配，\(R_{c1}\)等于\(R_{c2}\)，电流源大小为\(I_{EE}\)。要分析电路，首先考虑没有差模输入的时候。没有差模输入那\(V_{in1}\)和\(V_{in2}\)大小都等于共模电压\(V_{cm}\)，由于电路左右两边的对称性，电流没有理由在一边更多而另一边更少，因此左右两边集电极电流大小都是\(\frac{\alpha I_{EE}}{2}\)。\(R_{c1}\)、\(R_{c2}\)相等，因此在电阻两边的压降相同，\(V_{out1}\)也等于\(V_{out2}\)，输出端电压差值为零。因此共模输入下：
\[ V_{out} = V_{out1} - V_{out2} = 0 \tag{3.19}\]
当\(V_{in1}\)和\(V_{in2}\)作为差模信号（大小相等方向相反），对\(M_1\)和\(M_2\)有：
\[ \begin{aligned} I_{c1} &= I_S e^{\frac{V_{be1}}{V_T}} \\ I_{c2} &= I_S e^{\frac{V_{be2}}{V_T}} \end{aligned} \tag{3.20}\]
用上式计算\(I_{c1}\)和\(I_{c2}\)比率：
\[ \frac{I_{c1}}{I_{c2}} = e^{\frac{V_{be1} - V_{be2}}{V_T}} = e^{\frac{V_{in}}{V_T}} \tag{3.21}\]
同时\(I_{c1}\)与\(I_{c2}\)电流总和等于\(\alpha I_{EE}\)：
\[ I_{c1} + I_{c2} = e^{\frac{V_{in}}{V_T}} I_{c2} + I_{c2} = \left( 1 + e^{\frac{V_{in}}{V_T}} \right) I_{c2} = \alpha I_{EE} \tag{3.22}\]
这样就能分别得到电流大小：
\[ \begin{aligned} I_{c1} &= \frac{\alpha I_{EE}}{1 + e^{-\frac{V_{in}}{V_T}}} \\ I_{c2} &= \frac{\alpha I_{EE}}{1 + e^{\frac{V_{in}}{V_T}}} \end{aligned} \tag{3.23}\]
用 式 3.23 画出输入电压电流关系图。从图中可以看出，当\(V_{in}\)达到\(\pm 3V_T\)约75毫伏时，电流源的电流基本都偏到某一边去了。根据图中的电流，\(V_{in}\)大于零时，流过\(R_{c2}\)电流减小，电阻上的压降也减小，\(V_{out2}\)上升，\(V_{out1}\)电压下降；\(V_{in}\)小于零变化相反。所以差分电路是对角的输入输出电压保持相同方向变化，这样一般定义\(V_{out2} - V_{out1}\)是正电压，输出电压大小：
\[ V_{out} = V_{out2} - V_{out1} = R_{c1} I_{c1} - R_{c2} I_{c2} = R_{c1}(I_{c1} - I_{c2}) \tag{3.24}\]
输入电压大于75毫伏时，\(\Delta I_c = \alpha I_{EE}\)。\(I_{EE}\)越大输出电压就越大。前文提及过电流源一般是个三极管，但即使是在分立三极管中，电流也只是在毫安级别的。假设\(I_{EE}\)为10毫安，当全部电流流过\(R_{c1}\)或\(R_{c2}\)时，需要保证三极管集电极比发射极电压高0.2伏，因此负载电阻不能一味地增大，需要仔细设计合适的值防止三极管进入饱和区。
从小信号角度分析，差分输入变为在共模电压上很小的一点改变，对小信号来说直流上的东西等于交流上的零，直流电压视为接地，直流电流视为断路，这样可以画出差分电路的小信号模型：
对交流信号而言，电流源处不存在通路，当\(V_{in1}\)和\(V_{in2}\)被施加符号相反的差分小信号时，电流\(i\)流过电阻\(r_{m1}\)和\(r_{m2}\)。小信号基本不改变偏置，所以\(r_{m1}\)等于\(r_{m2}\)，电流大小为：
\[ i = \frac{V_{in1} - V_{in2}}{r_{m1} + r_{m2}} = \frac{V_{in}}{2 r_{m1}} \tag{3.25}\]
这个电流流过上方的\(R_{c1}\)和\(R_{c2}\)，在输出端分别产生\(-R_{c1} \alpha i\)和\(R_{c2} \alpha i\)的电压，输出电压等于：
\[ V_{out} = R_{c2} \alpha i + R_{c1} \alpha i = 2 R_{c1} \alpha i \tag{3.26}\]
电压增益为：
\[ A = \frac{2 R_{c1} \alpha i}{V_{in}} = \alpha g_{m1} R_{c1} \approx g_{m1} R_{c1} \tag{3.27}\]
这样就得到了差分电路在输入信号变化很小时的电压增益。同一配置下它和单端放大器增益相同。差分的优点包括但不限于有很好的抗干扰能力、不用特别在意输入直流偏置大小，因为电流源会把三极管发射极电压抬升到合适的值使流过发射极的电流等于电流源的一半，因此在偏置电流保持\(\frac{I_{EE}}{2}\)的情况下，\(g_{m1}\)或\(g_{m2}\)保持不变，也不会受到输入直流电压的影响。
集成运放的输入端基本上都是差分输入的形式。为了达到高增益，信号放大一次之后一般会进行第二次放大，不过这超出了我们要讨论的范围了。下一章将了解到电流镜和运放，为后续内容打下基础。