5 第五章 运算放大器
绿杨烟外晓寒轻，红杏枝头春意闹。
运算放大器是一个可以延伸出很多很多内容的话题，本章节的目的仅仅是提供最基础的关于运算放大器的知识，方便大家快速了解。
5.1 基本概念
运算放大器是一种差分输入、单端输出的放大器。和一个单纯的差分放大电路相比，运放往往有着更高的电压增益和驱动负载的能力。理想运放具有无穷大的电压增益，不过现实里没有无穷的东西，实际运放增益常在 \(10^4\) 到 \(10^7\) 之间（也已经非常大了）。但这并不意味着任意的输入就能有放大那么多倍的输出，输出总归是无法超过供电电压大小的。它具有很高的输入阻抗和很低的输出阻抗：
理想情况下，\(r_{in}\) 趋于无穷大，\(A\) 趋于无穷大，\(r_{out}\) 趋于零，输入输出满足关系：
\[ V_{out} = A V_{in} = A \left( V_{in}^+ - V_{in}^- \right) \tag{5.1}\]
在实际分析时可以把运放近似为理想的。\(V_{cc}\) 和 \(V_{EE}\) 是正负供电电源，运放通常需要双电源供电。
从 式 5.1 可以看到，当 \(A\) 足够大的时候，开环下（只有从输入到输出的通路）很小的 \(V_{in}\) 就能使输出饱和到电源电压，而电路中无时无刻不存在噪声，在 \(V_{in}\) 端的电压噪声就能使运放无法按照预期正常工作。
为了解决这个问题，运放引入了负反馈，可以使得增益由负反馈来调节。
5.2 负反馈
没有反馈的系统被称为开环系统。反馈指的是把输出端和输入端相连，并不局限于用导线连接起来；广泛地说，是输入可以和输出进行加减运算。存在反馈的系统被称为闭环系统：
假设 \(A\) 为运放增益，在开环情况下，系统的输入和输出关系可以表示为：
\[ A U(in) = Y(out) \implies \frac{Y(out)}{U(in)} = A \tag{5.2}\]
然后给开环系统加入反馈。\(f\) 是对输出的测量（或增益），因为输入信号和输出信号相减，因此这是一个负反馈。加入反馈后，为了计算 \(U(in)\) 和 \(Y(out)\) 的关系，定义误差输入 \(E(in) = U(in) - f Y(out)\)：
\[ E(in) A = Y(out) \implies \frac{Y(out)}{U(in)} = \frac{A}{1 + A f} \tag{5.3}\]
当 \(A\) 趋于无穷大的时候：
\[ \lim_{A \to \infty} \frac{A}{1 + A f} = \frac{A}{A f} = \frac{1}{f} \tag{5.4}\]
这时整个输入到输出的增益将完全由反馈回路决定。这也是为什么运算放大器不断致力于追求更高的开环增益，\(A\) 越大，输入输出之比就越接近于 \(\frac{1}{f}\)。
运算放大器是有着两个输入口的器件，因此需要改变一下反馈的结构：
输出通过反馈回路接到了运放的反相端，同样计算新增益：
\[ A \left( V_{in} - f V_{out} \right) = V_{out} \implies \frac{V_{out}}{V_{in}} = \frac{A}{1 + A f} \tag{5.5}\]
实际运放的 \(A f\) 一般远远大于 1，因此闭环下增益近似等于 \(\frac{1}{f}\)。如果 \(f\) 等于 1，反馈变为单位负反馈，闭环增益 \(\frac{1}{f} = 1\)，这意味着输入和输出大小一样，而运放输入阻抗又足够大（三极管类型运放在兆欧级别）。从这些能联想到什么吗？一个跟随器或缓冲器：
它可以用来代替三极管跟随器并不用考虑自身偏置的问题，因此在电路中十分常见。回过头来看到 式 5.1，运放依然满足这个公式。\(A\) 的值非常大而输出是一个确定的有限值，这表示 \(V_{in}^+ - V_{in}^-\) 应该很小：
\[ \lim_{A \to \infty} \left( V_{in}^+ - V_{in}^- \right) = \lim_{A \to \infty} \frac{V_{out}}{A} = 0 \tag{5.6}\]
式 5.6 说明当运放增益足够大，输出 \(V_{out}\) 是一个有限值的时候，运放同相端和反相端差值趋于零（或者电压相等）。
5.3 电阻网络混合器
接入运放输入端的电压信号可能存在两个或更多，电压信号的叠加需要用到电阻网络。首先要了解电阻对电压分压和电流分流：
总电流大小 \(I_{\text{total}} = \frac{V_{in}}{R_1 + R_2}\)，\(R_2\) 上压降为 \(R_2 I_{\text{total}}\)，输出电压：
\[ V_{out} = \frac{R_2}{R_1 + R_2} V_{in} \tag{5.7}\]
\(V_{out} = I_{in} (R_1 \parallel R_2)\)，由欧姆定律可知流过 \(R_2\) 的电流为：
\[ I_{out} = \frac{R_1}{R_1 + R_2} I_{in} \tag{5.8}\]
有了这两个概念以后，当有更多的输入源进入电阻网络，可以利用第一章提到过的叠加原理求解：
想要知道上图中 \(V_{out}\) 大小，直接计算可能相当不方便。利用叠加原理，对于线性电路来说，电路的总响应等于每个独立源单独作用响应的和。某个源单独作用时，其它源置零，电压源置零等于接地，电流源置零等于断路。因此可以对 图 5.7 进行分解：
根据分压公式，可以计算每个单独的 \(V_{out}\)：
\[ \begin{aligned} V_{out1} &= \frac{R_2 \parallel R_3}{R_1 + R_2 \parallel R_3} V_{in1} \\ V_{out2} &= \frac{R_1 \parallel R_3}{R_2 + R_1 \parallel R_3} V_{in2} \\ V_{out3} &= (R_1 \parallel R_2 \parallel R_3) I_{in1} \end{aligned} \tag{5.9}\]
而总的 \(V_{out} = V_{out1} + V_{out2} + V_{out3}\)，这样使得分析便捷高效。
还有一点需要注意，叠加原理是对“源”进行拆分的，假如某个端口没有信号输入进来，那这个端口相当于是断开的（注意区分输入信号为零和没有信号输入进来：电压源输入为零等于接地，电流源输入为零等于断路，电压源电流源没有输入都是断路）。
5.4 同相、反相放大器
同相放大器和反相放大器是运放最常见的两种应用，基本想法是用电阻把部分输出反馈到反相端：
首先我们要确认 \(R_1\) 和 \(R_2\) 确实构成的是一个负反馈。根据叠加原理，把输出也看成一个“源”，那无论 \(V_1\) 和 \(V_2\) 是多少，讨论输出端对输入端的影响时它们都是接地的：
计算输出给运放反相端反馈的电压大小 \(V_{p1}\)：
\[ V_{p1} = \frac{R_1}{R_1 + R_2} V_{out} \tag{5.10}\]
为了探究是否为负反馈，假设此时存在一个扰动使运放输入电压变大了 \(\Delta V_{in}\)，这样也会导致 \(V_{out}\) 增加 \(A \Delta V_{in}\)。根据 式 5.10，反馈回反相端的电压是 \(\frac{R_1}{R_1 + R_2} A \Delta V_{in}\)，这会使运放输入端净电压减小，因此 \(R_1\)、\(R_2\) 构成的回路是一个负反馈回路。
当有 \(V_1\)、\(V_2\) 输入的时候（图 5.9），由于运放输入阻抗很大，几乎没有电流流入，可以列出：
\[ \begin{aligned} A (V_2 - V_p) &= V_{out} \\ \frac{V_{out} - V_p}{R_2} &= \frac{V_p - V_1}{R_1} \end{aligned} \tag{5.11}\]
先解出 \(V_p\)：
\[ V_p = \frac{A R_1 V_2 + R_2 V_1}{A R_1 + R_1 + R_2} \tag{5.12}\]
当 \(A\) 趋于无穷大时，有：
\[ \lim_{A \to \infty} V_p = \frac{A R_1 V_2}{A R_1} = V_2 \tag{5.13}\]
式 5.13 说明在负反馈存在的情况下，理想运放的同相端和反相端电压相同（形象地理解，假设电压不为零的话，就会产生一个很大的反方向的 \(V_{out}\) 把电压拉回去），这被称为“虚短”；因为运放自身输入电阻很大，同相端或反相端没有电流流入流出，这被称为“虚断”。
有了“虚短虚断”的概念，在计算输出的时候就很方便了。 图 5.9 的 \(V_1\) 和 \(V_2\) 有两种基本模式：\(V_1\) 接信号输入、\(V_2\) 接地；或者 \(V_1\) 接地、\(V_2\) 接信号输入。前者被称为反相放大器，后者为同相放大器。
在 图 5.12 里负反馈下 \(V_p\) 电压约为零（虚短），无电流流入运放（虚断），因此流过 \(R_1\) 和 \(R_2\) 电流相同：
\[ \frac{V_{out}}{R_2} = \frac{-V_{in}}{R_1} \implies \frac{V_{out}}{V_{in}} = -\frac{R_2}{R_1} \tag{5.14}\]
同样可得：
\[ \frac{V_{out} - V_{in}}{R_2} = \frac{V_{in}}{R_1} \implies \frac{V_{out}}{V_{in}} = 1 + \frac{R_2}{R_1} \tag{5.15}\]
当既有反相输入，又有同相输入的时候，用叠加原理把两个输入分解为同相放大器和反相放大器就能很方便地求出输出电压大小。
5.5 积分电路
我们目前知道的在电路中电压有积分特性的器件只有电容，当有电流不断对电容充电时，电容两端电压满足：
\[ V_c(t) = \frac{1}{C} \int_0^t i_c(\tau) \, d\tau + V_{out}(0) \tag{5.16}\]
\(V_{out}(0)\) 是电容两端初始电压。可以使用一个运放来很方便地产生稳定的电流：
因为负反馈的存在，\(V_p\) 处电压在 0 伏附近。\(R_1\) 比较大的话流过的电流大小相对很稳定，等于 \(\frac{V_{in}}{R_1}\)，这个电流持续流入电容 \(C_1\) 使电压上升：
\[ -V_{out} = \frac{1}{C_1} \int_0^t \frac{V_{in}}{R_1} \, d\tau + V_{out}(0) \tag{5.17}\]