16 第十六章 波表合成
青山霁后云犹在，画出东南四五峰。
16.1 波表
波表（Wavetable）技术诞生于1978年，由德国工程师沃尔夫冈·帕姆（Wolfgang Palm）发明创造，并在PPG Wave合成器上实现了商业运用。
要了解波表技术，首先得知道什么是波表，波表是一个按顺序排列的存储了波形数据的集合，其中每个波形数据通常是一个单周期波形（Single Cycle Waveform，SCW），例如一个单周期的三角波或方波，一个波表通常又会包含32、64或更多数量的SCW，这些SCW一起构成了一个波表序列（Wavetable Bank）：
16.2 单周期波形
SCW可以定义为重复振动波形的最小单元，每个SCW在波表里被存储为单个周期内波形的幅度大小。
这区别于对声音进行采样，香农定理指出，为了避免信息丢失（混叠现象），采样频率（定义为每秒钟需要采样的次数）至少要为原始信息最高频率的2倍。
因此音频信号的常见采样率为\(44100\,\text{Hz}\)也就不奇怪了，对于更专业的场景，采样率可以达到\(96000\,\text{Hz}\)或更高。
回到SCW，波表里存储的是波形的幅度数据，这些数据被称为样本点，样本点描述了波形的形状，而和采样率没有关系。一个SCW的样本点总数通常为2 的 \(N\) 次幂，例如256、1024或2048个样本点。
以256个样本点的单周期锯齿波为例：
如果正好在1秒的时间里输出这256个样本并不断重复，那最终输出锯齿波频率正好就是\(1\,\text{Hz}\)（然而这样的输出方式并不好，下一小节将说明正确的输出方式）。
16.3 特定频率输出
回顾一下DAC，它接收一串数字输入并得到一个模拟电压输出，Arduino UNO R4的DAC是12位的，提供\(0 \sim 3.3\,\text{V}\)的模拟输出。
为了得到特定频率的输出，首先用定时器设定好DAC采样频率\(f_s\) （也是DAC的中断频率），假设\(f_s\) 为\(48000\,\text{Hz}\)，因此每\(\frac{1}{48000}\)秒会更新一次DAC。
若SCW的样本点总数是\(N\)（为了便于计算，不同于 图 16.3，接下来样本点排序默认从数字0开始），对于目标输出频率\(f\)，DAC第\(n\)次更新会输出第\(P[n]\)个样本点的值，其中\(P[n] = P[n-1] + \Delta P\)，\(\Delta P\)计算方式为：
\[ \Delta P = \frac{f \cdot N}{f_s} \tag{16.1}\]
当\(P[n]\) > \(N\) - 1时，更新\(P[n]\)的值为\(P[n]\) - \(N\) + 1。
例如一个SCW样本点总数\(N\)等于256，\(f_s\) 等于48000，想要输出频率为\(440\,\text{Hz}\)，则可以计算出\(\Delta P = \frac{440 \times 256}{48000} \approx 2.34\)。初始时刻，设定 \(P[0] = 0\)，DAC输出第0个样本点的幅值，在下一个DAC采样时刻，DAC应该输出第2.34（\(P[1] = 0 + 2.34 = 2.34\)）个样本点的幅值。
对于非整数样本点，其幅值大小可以通过线性插值求得：首先对\(P[1]\)向下取整（⌊\(P[1]\)⌋）得到整数2，然后以第2个样本点的幅值（假设第\(i\)个样本点的幅值记为A[\(i\)]）为基数加上(\(P[1]\) - ⌊\(P[1]\)⌋) * (A[3] - A[2])。
以此类推再下一个DAC采样时刻输出第4.68个样本点的幅值。另外还要注意的是插值计算出的结果可能也是个小数，需要四舍五入一次以便于输入到DAC。
上述改变频率的方法被称为直接数字合成法（Direct Digital Synthesis，DDS），让我们思考一个问题，为什么不直接改变DAC的采样频率以尽可能完整地输出所有的样本点？这既能改变频率，又能让输出图形减少失真。我认为一个很重要的原因是硬件实现上的困难，DDS中DAC的采样频率保持在某个固定大小，但如果改变DAC采样频率而保持所有样本点都输出呢？想要获得\(10000\,\text{Hz}\)的输出频率，对于256个样本点的SCW来说，需要\(2560000\,\text{Hz}\)（\(2.56\,\text{MHz}\)）的DAC采样频率。随着输出频率升高，这个数字会变得越来越大，而且大多数波表合成器的样本点远不止256个，这样随意大范围地改变采样频率可能会造成系统不稳定。
16.4 波表扫描
波表扫描（Wavetable Scanning）是波表合成器的核心，波表合成器的音色之所以能够进行动态、平滑的转换，全依赖于波表扫描。
上文提到过一个波表包含了很多个SCW片段，把波表扫描想象成一根“指挥棒”，指挥家手里那根银色棒棒的魔力在于：只有它才能指示出正确的节奏。
波表扫描不用于改变频率，只用于选择播放哪个SCW片段。对于包含了 \(M\) 个 SCW的波表，波表扫描的参数（定义为\(P_s\) ）是一个从 0 到 \(M - 1\)（也是排序从0开始）的实数，可以自由地游走在\(0 \sim M - 1\)之内，从而选择不同的SCW。
例如某个时刻\(P_s\) 等于 13，这表明合成器将输出第13个SCW的波形，而音色平滑变化的关键在于，\(P_s\) 是一个实数，所以会有小数部分。\(P_s = 13\) 和 \(P_s = 13.7\)输出的音色是不一样的，后者输出的波形会介于第13个SCW和第14个SCW之间，并且更偏向于第14个SCW，这样就避免了\(P_s\) 从 13 到 14转移过程中声音的突然改变。实现方法很简单，就是线性插值：
假设 \(P_s\) 位于 \(K\) 和 \(K + 1\) 之间，先对 \(P_s\) 向下取整 \(\lfloor P_s \rfloor\) 得到 \(K\)，然后用 \(P_s - \lfloor P_s \rfloor\) 计算小数部分，这样新的波表 \([\text{SCW}_{P_s}]\) 为：
\[ [\text{SCW}_{P_s}] = [\text{SCW}_K] + (P_s - \lfloor P_s \rfloor) \cdot ([\text{SCW}_{K+1}] - [\text{SCW}_K]) \tag{16.2}\]
其中\([\text{SCW}_K]\)表示对第 \(K\) 个 SCW的所有样本点分别操作。