1 第一章 基本概念
我见青山多妩媚，料青山见我应如是。
假设读者对某些概念并没有很了解，那就让我们稍微从头一点来开始吧，本章目的是让大家快速了解一些基本概念。
1.1 电压与电流
模拟合成器是一种利用模拟电路来产生声音信号的电子乐器，模拟二字则强调了电路系统里面信号的连续性（相对于离散的数字信号）。但无论是模拟还是数字电路，所有电路系统中能够传递信号的只有电压和电流这两种物理量。
电压常用小写或大写字母 \(U\) 来表示，单位为伏特（V）。想象一根充满了能自由移动电子的金属导线，在什么都没有施加的情况下，由于外部热能的传递，自由电子在进行着无规则、无方向的高速运动，这种情况下无法形成持续稳定的电流。
如果有办法对这些电子施加一个驱动力，使其能朝着某个方向定向移动，这样就形成了电流。电流常用字母 \(I\) 来表示，单位为安培（A），而提供这种驱动力的东西就是电压。电压描述的是两点之间电位的差值。虽然电压和电流在物理上的定义不能让我们一眼看过去就清楚明白，但上述理解已经足够接下来的讨论了。
电路总是需要外界提供电压或者电流才能正常工作，提供电压的器件叫做电压源，提供电流的器件叫做电流源。“源”表明它们都是主动型器件，具有对外输出的能力。电压源符号如 图 1.3 所示：
电压源是一个双端口器件， 图 1.3 的电压大小是 5伏，正号（+）和负号（-）表明上面端口的电压比下面端口的电压高 5伏。电流源的符号如 图 1.4 所示：
箭头方向表明该电流源的电流是从上往下流动的，对上面端口而言电流源汲取电流，对下面端口而言电流源输出电流，电流大小等于 1毫安。
1.2 电阻
给一段导体两端施加一定的电压后，电流会是多大？这由电阻来决定。
电阻描述了物体对电流阻碍的能力。不同的材料在相同温度下激发出的自由电子数量并不相同，面对一个完全没有自由电子的物体，无论在两端施加多大的电压依然不会有电流产生；除此之外，材料内部不同的晶体结构同样会产生不同的阻碍效果。以上及其他一系列因素共同决定了材料的电阻率 \(\rho\)，电阻阻值 \(R\) 可以用电阻率计算得出。
对于如 图 1.5 所示的一块材料，\(L\) 是电流平行方向的长度，\(A\) 是横截面积。电阻阻值与横截面积成反比，与电阻率和长度成正比，满足：
\[ \begin{aligned} R &= \rho \cdot \frac{L}{A} \\ A &= W \cdot H \end{aligned} \tag{1.1}\]
电阻率的单位是欧姆·米（\(\Omega \cdot \text{m}\)），电阻 \(R\) 的单位为欧姆（\(\Omega\)）。不同材料之间的电阻率可以跨越几十个数量级。电阻通常有如 图 1.6 所示的两种表示方式。
| 材料 | 电阻率 (\(\Omega \cdot \mathrm{m}\)) |
|---|---|
| 银 | \(1.59 \times 10^{-8}\) |
| 锗 | \(0.1 \sim 0.5\) |
| 橡胶 | \(10^{13} \sim 10^{16}\) |
确定了电阻阻值大小和电阻两端电压，就能用欧姆定律计算出流过的电流大小：
\[ I = \frac{U}{R} \tag{1.2}\]
对 图 1.7 所示的电路可以计算出电流：
\[ I = \frac{5\text{V}}{1000\,\Omega} = 0.005\text{A} = 5\text{mA} \]
这里假设了导线是理想的，自身的电阻为零（实际上导线本身存在一个极小的阻值），因此一条理想导线上电压处处相同。
当有两个或更多的电阻相互连接时，它们之间的连接模式可以分为串联和并联。
在串联连接时，从A到B 只存在一条通路，路径上的等效总电阻满足：
\[ R_{\text{total}} = R_1 + R_2 + \dots \]
在并联连接时，从A到B 存在多条通路，并联电路等效总电阻记为 \(R_{\text{total}} = (R_1 + R_2) \parallel R_3 \parallel \dots\)，满足：
\[ \frac{1}{R_{\text{total}}} = \frac{1}{R_1 + R_2} + \frac{1}{R_3} + \dots \]
1.3 电容
电容不同于电阻，电阻是非储能型器件，这意味着电阻只有在供电的情况下才能产生电流，电压归零后电流也迅速归零，就像水龙头或者一根水管无法把水存住；而电容是储能型器件，更像一个蓄水池。电容在电路中一般是这样表示的：
人们常用 \(C\) 来表示一个电容器件，电容的单位是法拉（F）。想要理解法拉的含义，我们得从电子谈起。电子是带有负电荷的基本粒子（带电意味着能产生电场）。为了衡量一个物体带有多少电，人们定义了库仑（C）这个单位，1库仑含有约 \(6.24 \times 10^{18}\) 个电子（带负电）或质子（带正电）的电量。
一块金属板如果带有1库仑的负电荷，那它表面将会是这样的：
大约有 \(6.24 \times 10^{18}\) 个电子兄弟挤在这块金属板子上。
电容在充电时，上下极板的带电量始终是保持平衡的，意思是上极板带有多少正电荷，下极板一定会带有相同数量的负电荷。电容的电容量（以 1法拉为例）表明当电容两端电压为 1伏时，上下极板分别会存有 1库仑的电荷；电压为 \(m\) 伏就会分别存有 \(1 \times m\) 库仑的电荷。
在 图 1.11 中，电路上电瞬间电容 \(C_1\) 两端电压为零，电流通过 \(R_1\) 对 \(C_1\) 充电，并满足以下公式：
\[ \begin{aligned} v_c(t) &= \frac{1}{C}\int_{0}^{t} i_c(\tau) \, d\tau \\ i_c(t) &= C \frac{dv_c(t)}{dt} \end{aligned} \tag{1.3}\]
为了计算电容 \(C_1\) 电压的变化情况，选择参考地作为零电位点（此处电压等于 0），\(C_1\) 两端的电压记为 \(v_{c1}(t)\)：
那么流过 \(R_1\) 的电流等于流过 \(C_1\) 的电流，满足一阶常微分方程：
\[ C_1 \frac{dv_{c1}(t)}{dt} = \frac{u_1 - v_{c1}(t)}{R_1} \]
求解该微分方程可得：
\[ v_{c1}(t) = u_1 \left( 1 - e^{-\frac{t}{R_1 C_1}} \right) \]
定义 \(\tau = R_1 C_1\) 为电容充电的时间常数。根据公式，电容在 1个时间常数 \(\tau\) 内能充到最终电压的 63.2%，在 5个时间常数内可充至 99.3%。在 图 1.11 中，\(R_1 = 1\text{k}\Omega\)，\(C_1 = 1\text{pF}\)，因此 \(\tau\) 为 \(10^{-9}\) 秒。
充满之后电路不再有电流流过，电容处相当于断开（断路）。对于直流信号，电容具有隔绝作用；而对于频率较高的交流信号，电容则可以近似当成一根导线来对待（短路），这就是电容著名的隔直通交特性。
电容的串并联计算法则与电阻恰好相反：
对于串联电容，总电容量满足：
\[ \frac{1}{C_{\text{total}}} = \frac{1}{C_1} + \frac{1}{C_2} + \dots \]
对于并联电容，总电容量满足：
\[ C_{\text{total}} = C_1 + C_2 + \dots \]
1.4 基尔霍夫电流定律
基尔霍夫电流定律（Kirchhoff’s Current Law, KCL）可以描述为：电路中流入某一节点的电流之和等于流出该节点的电流之和，即任意节点处电流的代数和恒等于零。换句话说，电路中的任意节点既不会凭空产生电荷，也不会积蓄或消耗电荷：
\[ \sum_{k = 1}^{n} i_k = 0 \tag{1.4}\]
如 图 1.14 所示，对节点P 而言，只存在三个支路供电流流入或流出。无论 \(R_1\)、\(R_2\) 以及 \(R_3\) 外部连接着多么复杂的电路，在 P点处根据基尔霍夫电流定律都可以列出：
\[ i_1 + i_2 = i_3 \quad \text{或} \quad i_1 + i_2 - i_3 = 0 \]
当事先无法确定某个支路的电流流向时，可以先任意假设 P点处各电流的参考方向，规定流入为正（+）、流出为负（-），然后根据 KCL 列出方程。再配合电路中其他节点列出的方程联立求解，解出为正值说明实际流向与参考方向一致，解出为负值说明实际流向与参考方向相反。
例如在 图 1.15 中，如果不确定 P点电流的流向，可以全部假设为流入，则 \(i_1\)、\(i_2\) 和 \(i_3\) 符号均为正，此时 P点处的电流方程为：
\[ i_1 + i_2 + i_3 = 0 \]
如果假设电流全部为流出，同样有：
\[ -i_1 + (-i_2) + (-i_3) = 0 \]
因此 式 1.4 中的 \(i_k\) 是带有参考方向正负号的代数和。配合其他节点的电压方程，就能准确求解出各个电流的具体大小与真实流向。
1.5 叠加原理
对于线性电路，当存在多个独立激励源（电压源、电流源）时，可以利用叠加原理分别计算每个激励源单独作用时在电路中产生的响应（响应通常指某个端口或器件上的电压或电流），然后将这些单独的响应进行代数相加，即可得到所有激励源共同作用时的总响应。简而言之，叠加原理将一个复杂的多源线性电路分析问题，分解为了多个简单的单源电路分析问题。
想要求解 图 1.16 所示的电路，可以先使用上一节介绍的节点分析法，选定中间节点：
如 图 1.17 所示，在节点P 处列 KCL 方程可得：
\[ i_1 = i_2 + i_3 \]
设节点P 处的电位为 \(v_p\)，结合各支路欧姆定律可得：
\[ \frac{u_1 - v_p}{R_1} = \frac{v_p}{R_2} + u_2 \]
代入图中的具体数值（\(u_1 = 5\text{V}\)，\(u_2 = 1\text{mA}\)，\(R_1 = 1\text{k}\Omega\)，\(R_2 = 1\text{k}\Omega\)）：
\[ \frac{5 - v_p}{1000} = \frac{v_p}{1000} + 0.001 \implies 5 - v_p = v_p + 1 \implies v_p = 2\text{V} \]
进而可以算出各支路电流：\(i_1 = 3\text{mA}\)，\(i_2 = 2\text{mA}\)。
另一种方法则是直接利用叠加原理：分别计算每个源单独作用（此时其他独立源被置零）的结果再相加。置零一个独立源时的规则为：
独立电压源置零时，其电压为 0，相当于短路（用一根导线替代）；
独立电流源置零时，其电流为 0，相当于断路（直接断开开路）。
因此， 图 1.17 所示的电路可以被等效分解为 图 1.18 所示的两个单源电路：
分别求解这两个单源电路中的电压与电流，最后将各自的结果代数相加，同样可以精确得到与节点法完全一致的解。