2 第二章 晶体管
星汉灿烂，若出其里。
晶体管的发明毫无疑问是一把开启新世界的钥匙。也许这个比喻并不恰当，但就像柏拉图的洞穴隐喻，在晶体管出现之前，人类还处于电子科技的荒原之上，虽然不乏有鲜艳美丽的花朵，但大片土地依然贫瘠。晶体管或者半导体器件的出现是一个契机，一个从洞穴中走出的契机，让我们最终得以在那片荒原上奔跑，并尝试让它变得丰富繁茂。
2.1 物质波
物理学告诉我们物质有更小的微观结构，先进的显微镜能让人们看到原子层面的结构。一个经验性的观点会自然而然地植根在大脑里面：即使是小到原子层面的物体，也存在一个固定的结构或形状，它应当是一个具有明确边界的实体，毕竟人们很难想象日常接触到的东西若不是一种具体的存在会是怎样。
这种观点由来已久，古希腊哲学家德谟克利特和留基伯提出的原子论就认为，世界万物都是由不可分割、永恒不变的最小原子组成。
直到 1801年双缝干涉实验证明了光具有波的特性。到了 20世纪，德布罗意在他的博士论文中提出假设：既然光具有波动性，那么像电子这种更基本的粒子，同样也应该具有波动性。1927年戴维逊-革末实验证明了电子的波动性，1929年德布罗意凭借这篇博士论文获得了诺贝尔物理学奖。
德布罗意在论文中提出了物质波（即德布罗意波）的概念：任何物体都具有波动性，无论微观还是宏观，物质波是一种概率波，描述物体出现在某一位置的概率。物质波的波长 \(\lambda\) 满足：
\[ \lambda = \frac{h}{p} \tag{2.1}\]
其中 \(h\) 为普朗克常数，\(p\) 为粒子动量。从概率波的角度来说，即使是巨大的宏观物体，其出现的位置同样存在不确定性。但由于普朗克常数极其微小，宏观物体的德布罗意波长短到完全可以忽略，位置的不确定性也随之可以忽略。
考虑一个真空中的氢原子模型：
氢原子由一个质子和外层单个电子组成。为了使电子拥有稳定的轨道，电子的德布罗意波必须形成驻波，这要求电子轨道的周长等于波长的整数倍：
\[ 2\pi r = n\lambda \tag{2.2}\]
其中 \(n\) 为正整数，\(r\) 为电子轨道半径。电子仅在库仑力作用下绕核做圆周运动，受力大小为：
\[ F = \frac{e^{2}}{4\pi\epsilon_{0}r^{2}} \tag{2.3}\]
式中 \(\epsilon_0\) 为真空介电常数。根据经典力学圆周运动规律与动量定义：
\[ \begin{aligned} F &= \frac{mv^{2}}{r} \\ p &= mv \end{aligned} \tag{2.4}\]
联立上述方程化简，可以求解出轨道动量与半径：
\[ \begin{aligned} p &= \frac{me^{2}}{2\epsilon_{0}nh} \\ r &= \frac{n^{2}h^{2}\epsilon_{0}}{\pi me^{2}} \end{aligned} \tag{2.5}\]
从 式 2.5 中可以看出，电子轨道半径与 \(n^2\) 成正比，而 \(n\) 只能取整数。因此电子轨道在原子核外是不连续的，电子只能在特定的离散轨道之间跃迁。计算不同轨道上电子所具有的总能量可得：
\[ E = -\frac{13.6\text{eV}}{n^{2}} \tag{2.6}\]
由此便得到了氢原子的玻尔模型：电子轨道不连续，电子只能吸收或释放特定数值的能量从一个轨道跳跃到另一个轨道。
如 图 2.2 所示，越靠近原子核的轨道能量越低。若电子想从第一轨道跃迁至第三轨道，需要吸收约 \(12.1\text{eV}\) 的能量。若电子要彻底挣脱氢原子核的束缚成为自由电子，则至少需要吸收 \(13.6\text{eV}\) 的能量，该能量被称为氢原子的电离能。
金属原子有着相似的核外轨道模型，但金属原子核外拥有更多电子且分布于不同层级的轨道上，外层价电子的电离能通常较低，因而更容易脱离原子核成为自由电子。
2.2 N型半导体与P型半导体
半导体通常以硅（Si）或锗（Ge）为基本材料。纯净的硅与锗在室温下导电性较弱。硅原子最外层由 4个价电子占据。在形成硅单晶时，每个硅原子会与周围4个相邻硅原子共享最外层电子，共享电子对之间形成稳定的共价键。电子被紧密束缚在共价键中，难以脱离成为自由电子。
这种纯净且晶格完整的半导体称为本征半导体。当某个价电子吸收足够热能脱离共价键束缚时，共价键原位置便留下一个空位，称为空穴。空穴具有吸引周围共价键电子的倾向，临近共价键的电子填补该空穴后，其原位置又产生新的空穴。在特定温度达到动态平衡时，热激发产生电子-空穴对的速率与复合速率相等，自由电子浓度与空穴浓度保持动态稳定。
在室温下，硅晶体中自由电子浓度仅约为 \(10^{10}\text{cm}^{-3}\)，而金属导体的自由电子浓度可达 \(10^{23}\text{cm}^{-3}\)。为了显著提高半导体的导电能力，通常需要进行掺杂处理。
掺杂是指在纯净半导体材料中引入特定微量杂质元素。常见的掺杂元素主要分为第Ⅲ族和第Ⅴ族元素。
N型半导体是在硅晶体中掺入第Ⅴ族元素（如磷元素）。磷原子最外层拥有5个价电子，当它取代硅晶格中的某个硅原子时，其中 4个电子与相邻硅原子形成共价键，多出的第5个电子未受共价键牢固束缚，极易受热激发脱离成为自由电子。
P型半导体则是在硅中掺入第Ⅲ族元素（如硼元素）。由于第Ⅲ族元素最外层仅有3个价电子，与周围硅原子组成共价键时天然缺少一个电子，从而形成一个空穴：
载流子是指在物质中能够自由定向移动并传递电荷的微观粒子。在N型半导体中，承载电流的主要粒子是自由电子，自由电子是多数载流子；而在P型半导体中，导电过程主要体现为空穴对邻近电子的连续捕获与转移，宏观效果等效于带正电粒子的定向迁移，因此空穴是其多数载流子。掺杂能够使半导体的载流子浓度提升数个数量级（例如N型半导体中自由电子浓度可提升至 \(10^{19}\text{cm}^{-3}\)），从而成倍增强导电能力。
如果仅停留于此，半导体便只是一种电导率可调节的导电材料，在功能上与常规电阻并无本质差异。半导体之所以能引发电子技术革命，核心在于两种不同掺杂区域结合所形成的界面——PN结。
2.3 PN结
PN结是由P型半导体与N型半导体在界面处紧密结合形成的物理结构：
在 图 2.6 中，左侧N型半导体的多数载流子为带负电的电子（以 \(e^-\) 标识），右侧P型半导体的多数载流子为空穴（以 \(+\) 标识）。
在接触交界面处，由于载流子浓度的巨大差异，电子与空穴产生剧烈的扩散运动：N型区的电子扩散进入P型区并与空穴复合，P型区的空穴扩散进入N型区与电子复合。由于原来两侧半导体整体呈电中性，电子的迁出使N型区交界附近遗留带正电的施主杂质离子，电子的迁入则使P型区交界附近遗留带负电的受主杂质离子。这些不能自由移动的带电离子在交界区域建立起一个从N区指向P区的电场，称为内建电场。
随着载流子扩散，内建电场不断增强，对多数载流子的进一步扩散产生阻碍力，同时驱动少数载流子产生漂移运动。当扩散趋势与内建电场的漂移作用达到动态平衡时，交界处的自由载流子几乎被全部耗尽，这一只留下不可动离子的狭窄区域被称为耗尽层。
2.4 二极管
二极管本质上就是一个封装好的PN结。在制造工艺上，二极管并非简单将两块物理半导体机械拼接，而是通过在同一块高纯度半导体单晶片上采用光刻与精确扩散/离子注入技术，分别掺杂形成连续且紧密结合的P型区与N型区，随后引出金属电极并封装而成。
若在PN结两端施加外加电压，使P区接电源正极、N区接电源负极，此状态称为正向偏置（正向电压）：
此时外加电场方向与内建电场方向相反，有效削弱了内建电场的势垒高度，耗尽层宽度变窄。在克服内建电场后，多数载流子得以大量越过界面形成持续的正向电流。硅二极管的正向电压与电流关系如 图 2.9 所示：
随着正向电压增加，电流呈现出强烈的指数增长规律，满足著名的肖克利二极管方程：
\[ I = I_{S} \left( e^{\frac{V_{D}}{V_{T}}} - 1 \right) \tag{2.7}\]
其中 \(I_S\) 为反向饱和电流常量，\(V_D\) 为施加在二极管两端的正向电压，\(V_T\) 为热电压常量（在室温下约为 \(25.8\text{mV}\)）。
从特性曲线可以看出，当正向电压小于约 \(0.7\text{V}\) 时，回路中几乎没有明显电流流过。\(0.7\text{V}\) 约为克服硅材料内建电场所必需的电压门槛，被称为硅二极管的开启电压或导通电压（锗二极管的开启电压约为 \(0.3\text{V}\)）。
反之，若使P区接电源负极、N区接电源正极（反向偏置），外加电场与内建电场同向叠加，耗尽层宽度进一步增厚，阻断了多数载流子的流动，仅有极其微弱的少数载流子漂移电流（即反向漏电流 \(I_S\)）流过。
因此二极管具备显著的单向导电性，其标准电路符号如 图 2.11 所示：
符号中的三角箭头指向二极管正向导通时的电流方向，正常导通时阳极与阴极之间的正向压降约为其开启电压。
2.5 三极管
双极型晶体管（简称三极管，BJT）在二极管的基础上增加了一个控制电极。回顾二极管方程 式 2.7，它揭示了一个事实：半导体器件能够利用电压指数级地控制电流大小。然而对于纯粹的双端器件，两个端口均必须直接接入外部回路：
在双端连接中，端口1与端口2之间的电压受制于整条支路电路方程的全局约束，无法在不干扰外部系统工作状态的前提下由外界随意独立调控。
为了真正实现以电压/微弱信号独立控制主回路电流的目的，需要引入第三个端口：
若能构建一个受控器件：流过端口2与端口3之间的主电流完全由端口1的输入电压或微弱电流决定，而控制端（端口1）本身汲取极小的电流，且主回路端对控制端的反作用较弱，便能实现电气放大与开关控制。
世界上第一支晶体管于1947年诞生于贝尔实验室。要实现上述三端受控特性，基本构造是在一个PN结之后紧邻串接另一个PN结。以NPN型双极晶体管为例：
NPN三极管具有三个引出端，分别为：发射极（Emitter，E）、基极（Base，B）与集电极（Collector，C）。
左侧发射结（EB结）处于正向偏置，外加正向电压 \(V_{BE}\) 削弱了发射结势垒，使发射区的大量电子注入到中间基区（P型区）。为了尽量减少注入电子与基区空穴的复合，基区被设计得非常薄且掺杂浓度极低；同时右侧集电结（BC结）被施加反向偏置电压 \(V_{BC}\)，反偏建立的强电场能够迅速将穿过基区的大部分电子“收集”并拉入集电区，从而形成流经集电极的主电流。
这样集电极电流的大小受发射结正偏电压控制，其传输特性类似于二极管，电流从集电极流出至发射极：
\[ I_{C} = I_{S} \left( e^{\frac{V_{BE}}{V_{T}}} - 1 \right) \approx I_{S} e^{\frac{V_{BE}}{V_{T}}} \tag{2.8}\]
为了维持基区电中性，基极必须从外部补充电流以平衡与电子复合消耗掉的空穴，因此发射极电流等于基极电流与集电极电流之和：
各引脚电流满足基尔霍夫电流定律：
\[ I_{E} = I_{C} + I_{B} \tag{2.9}\]
定义共基极电流放大系数 \(\alpha\)：
\[ \alpha = \frac{I_{C}}{I_{E}} \tag{2.10}\]
结合 式 2.9 与 式 2.10 可导出集电极电流与基极电流的关系：
\[ \begin{aligned} I_{C} &= \frac{\alpha}{1 - \alpha} I_{B} = \beta I_{B} \\ I_{E} &= (1 + \beta) I_{B} \approx \beta I_{B} \end{aligned} \tag{2.11}\]
其中 \(\beta\) 是双极晶体管的核心参数，称为共发射极电流放大系数，表征三极管对基极微弱电流的放大能力。分立式三极管的 \(\beta\) 通常在 100到300之间。
由 式 2.8 可以绘制出 \(I_C\) 与 \(V_{BE}\) 的关系特性曲线：
在保持集电结反偏的前提下，曲线中的 \(V_{BE,\text{on}}\) 称为导通电压，硅三极管通常为 \(0.6\sim 0.7\text{V}\)。低于该电压时三极管截止；导通之后由于指数特性，\(V_{BE}\) 的微小增加将带来集电极电流的成倍增长：电流每变化10倍，\(V_{BE}\) 约上升或下降 \(60\text{mV}\)。因此在多数偏置分析中，常假设导通状态下的 \(V_{BE}\) 约为恒定的 \(0.7\text{V}\)。
上述公式假设了 \(I_C\) 与管压降 \(V_{CE}\) 无关，然而在实际晶体管中，\(I_C\) 会随着集电极电压的增加而略有上升：
图 2.17 中虚线左侧为饱和区，右侧为放大区。在正常放大状态下，发射结正偏且 \(V_{BE} > V_{BE,\text{on}}\)，集电结反偏，三极管工作在放大区。理想状态下希望集电极输出曲线为完全水平的恒流线。
但随着 \(V_{CE}\) 增加，集电结反偏电场展宽，使有效基区宽度缩短，从而减少了电子与空穴在基区的复合率，导致 \(I_C\) 略微增大，这一现象称为基区宽度调制效应（厄利效应）。为了精确描述该效应，将 式 2.8 修正为：
\[ I_{C} \approx I_{S} e^{\frac{V_{BE}}{V_{T}}} \left( 1 + \frac{V_{CE}}{V_{A}} \right) \tag{2.12}\]
其中 \(V_A\) 称为厄利电压，对应放大区特性曲线反向延长线相交于负横轴的交点：
厄利电压 \(V_A\) 通常在几十至数百伏左右。\(V_A\) 绝对值越大，表明晶体管受输出电压波动的影响越小，输出阻抗越高（理想三极管对应 \(V_A \to \infty\)）。
若集电极电压持续下降，反偏电压 \(V_{BC}\) 随之降低，当 \(V_{CE}\) 降至一定临界值以下时，集电结由反偏转为正偏，内部电荷输运规律改变，三极管进入饱和区（图 2.17 虚线左侧）。为了保证三极管维持在放大区工作，\(V_{CE}\) 必须大于某一最低饱和压降 \(V_{CE,\text{sat}}\)（硅管通常约为 \(0.2\text{V}\) 左右）。
总结而言：双极晶体管进入线性放大区需满足发射结正偏（\(V_{BE} \ge V_{BE,\text{on}}\) 约 \(0.7\text{V}\)）且集电结反偏（\(V_{CE} \ge V_{CE,\text{sat}}\) 约 \(0.2\text{V}\)）。在此状态下，基极微小电流能够线性控制集电极较大电流，电流放大倍数为 \(\beta\)。