6 第六章 声音与振动
卿云烂兮，糺缦缦兮。日月光华，旦复旦兮。
这一章将会暂时跳出与电相关的内容，转而去讨论一些更有结构性的东西。
6.1 里拉琴
人在一开始如何最先验地，不依赖于其它额外的知识去感受某个东西的好坏？
我认为答案大概是和谐吧！和谐与不和谐，更像是一种与生俱来的天赋，即使不懂绘画，有些线条一眼看过去也能感受到构图上的舒服；即使不懂乐理，也能对音乐作出好与坏的心理度量。好像我们天生就有识别和谐与不和谐的能力，大部分动物应该也能做到，就像呼吸一样。人类一直在追求和谐、完美的东西，这种东西一个很好的体现，大约就是数学和数字了。
早在公元前 500 多年，古希腊毕达哥拉斯学派就认为世间万物皆可以用数来表示，那时还没有无理数的出现，整个世界还处在整数和有理数的描绘下。
他们对数学特别是几何学进行了深入研究，被认为是最早证明了勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）的团体。
勾股定理用一个很简单的式子概括了欧氏空间里面所有直角三角形边长之间的关系，即使当时人们还不知道无理数，但无理数依然可以满足这个关系，它绝对是和谐事物的一个典范。
毕达哥拉斯学派另一个很重要的发现是找到了声音上和谐的东西：八度。八度很好地体现在了里拉琴上。它是一种多弦乐器，在古希腊时期就已经得到了广泛的应用，那时吟游诗人游走在城邦之间，他们手里拿着的就是里拉琴。
古希腊里拉琴是 7 弦琴，现在我们能购买到的里拉琴琴弦数量会多一些，常见有 16 弦或 19 弦。仔细去看现代里拉琴，会发现每根弦上标有标记，基本模式是 C、D、E、F、G、A、B 按照次序排列。可以猜测，这应该对应着某种东西由低到高，事实的确如此，这是弦振动频率的顺序。
6.2 频率
频率是对周期性事物的描述，太阳升起落下一次被视为一个周期，风扇转动一圈是一个周期，一年 365 天也可以当成一个周期。而频率一般特指在 1 秒的时间里物体重复的次数，例如风扇在 1 秒里转了 1 圈，或 0.5 圈（因此它需要两秒才能完成一次重复，也就是一个周期）。周期 \(T\)（以秒为单位）和频率 \(f\)（以赫兹为单位）互为倒数关系：
\[ f = \frac{1}{T} \tag{6.1}\]
声音产生源自物体振动，振动改变了空气里分子的密度，密度的改变会因分子无规律的运动而向四面八方传递出去，传到耳朵里我们就感受到了声音。自然界里存在一类最基本的振动模式：正弦波振动。
正弦波是自然中最纯粹的一类波，“纯粹”并不是指观感上的（视觉上我觉得方波更纯粹些），而是正弦波在数学上具有无穷阶可导且保持形状相同的特性。 图 6.3 里正弦波每过 1 秒图形会变得重复，因此周期是 1 秒，频率是 1 赫兹。这种模式的声音对应着相同趋势的空气密度改变：
如果这些小圆点表示空气分子的话（大概会这样吧，而且是在立体空间里的分子），这种趋势会因为和周围更多的分子相互碰撞而扩散出去，人耳膜感受到了传递过来的空气压力变化，从而听到正弦波。
人的听力范围大约从 20 赫兹到 20000 赫兹（20 Hz ～ 20 kHz），这个范围并不算宽广，自然里还有很多声音我们听不到。但即使是在这样比较窄的频率范围里，世界也是那么地丰富多彩。即便是最单纯的正弦波，只需要两个不同频率的波源，我们就能感受到和谐与不和谐。让我们回到上一小节，继续去追寻声音上和谐的关系。
6.3 八度
毕达哥拉斯发现八度源自自己的实验，他制作了一个小的共鸣箱并在上面放置一根单弦，弦下面有一个琴桥以传递振动到共鸣箱。他拨动琴弦，发现将琴桥放置在弦中间位置的时候会出现两股听起来令人和谐的声音，这就是“八度”（octave）。一个八度是指某一频率到其二倍频之间的距离。例如一个正弦波频率为 220 赫兹，那它的一个高八度就是 440 赫兹，再下一个八度是 880 赫兹，八度保持 \(1 : 2\) 的频率关系。从 20 赫兹开始算起到 20000 赫兹，人类听觉覆盖了 10 个八度：
因此钢琴上只有 8 个八度也就不难理解了。在发现八度之后，毕达哥拉斯更细致地研究了在八度范围内还存在哪些频率听起来是和谐的，这包括五度 \(2 : 3 = 1 : 1.5\)、四度 \(3 : 4 \approx 1 : 1.33\)。这是人类第一次尝试用数学去记录听觉上和谐的东西。在往后约 2000 年的时间里，对于如何把一个八度分成不同的音一直没有很明确的结论，直到巴赫时期出现的十二平均律把一个八度分成了 12 个半音，半音和相邻半音之间频率比例为 \(1 : 2^{\frac{1}{12}} \approx 1 : 1.059\)，平均律逐渐成为主流标准，奠定了现代西方乐理的基石。
现代里拉琴上的 C、D、E、F、G、A、B 只是给这 12 个半音里面的 7 个取了个名字，而字母后面的小数字是相对于钢琴键盘上的 \(C_0\) 来说的，例如 \(C_5\) 就是比 \(C_0\) 高 5 个八度，\(C_0\) 在 16 赫兹左右。
6.4 高次谐音
当去搜索正弦波听起来是怎么样的时候，你会发现听起来特别无聊，即使对应着钢琴某个键的频率，为什么会这样？主要原因是乐器除了发出某个频率的音以外，还伴随着不同幅度的高次谐波和泛音。谐波指的是基频的整数倍频，泛音更强调高于基频的所有频率的声音。
用横坐标表示频率，纵坐标表示幅度就构成了频谱图。不同的乐器即使是同一个音（一般指基频频率），也有着差别很大的频谱图，例如乐器 1 和乐器 2 同样发 \(C_4\) 的音：
但因高频处声音振幅各不相同，导致听觉差异很大。世界上大概没有音色完全相同的乐器，因为在制作过程中总会有差别，有差别就意味着会产生不同的谐音或泛音。
6.5 不同波形
既然声音由物体振动产生，那电压信号又该怎么发出声音？要把电信号转化成物体振动，关键角色就是喇叭，它起到能量转化的作用，但我们不用担心原理，喇叭会搞定一切。真正问题在于，要制作一个可以改变频率的正弦波电路比较难，至少用模拟器件来做很不容易，这样就需要考虑其它不同类型的波形。
常见有锯齿波、方波和三角波。锯齿波严格区分可以分成正锯齿波和倒锯齿波，但这并不影响什么：
有了这些概念之后，我们就可以踏向更远的旅程了。人们所做出的努力一定是朝着更和谐的方向去的。公元前 500 多年，毕达哥拉斯尝试用数字来解释世界，那时华夏还处在春秋战国时期，秦朝还没有统一天下。但相传在比古希腊更早约 2000 年的尧舜禹时代，在舜帝禅位给禹时，群臣唱奏《卿云歌》而伴，庆祝天下由推选出来的贤人治理：
卿云烂兮，糺缦缦兮。日月光华，旦复旦兮。明明天上，烂然星陈。日月光华，弘于一人……
《卿云歌》历经千年，在民国时期曾两度作为国歌，其和谐的音韵不免让人联想起几千年前先民们对于华夏大地美好的期待，这与毕达哥拉斯对于世界的期待并无不同，他们都在想着去往更和谐的方向，过去如此，将来也是如此。