14 第十四章 特雷门琴
庾信平生最萧瑟，暮年诗赋动江关。
14.1 特雷门琴的出现
特雷门琴（Theremin）被认为是世界上第一件纯电子发声的乐器，这听起来有些反直觉，难道第一个纯电子乐器不是我们现在生活中更常见的东西吗？特雷门琴反而非常少见到，但不常见到和首先出现并没有什么必然的联系，它的出现是有着一定的历史背景的。
特雷门琴最早于1920年由列夫·特雷门发明，列夫·特雷门于1896年出生在俄国，此时还没有苏联的概念，第一次世界大战也还没有爆发，俄国还延续着自1721年彼得一世建立的“俄罗斯帝国”的称号。同年俄国最后一任皇帝尼古拉二世进行了加冕仪式，早在1861年，俄国颁布《解放法令》宣布废除农奴制，克里米亚战争的失败和国内日益加重的阶级矛盾迫使皇帝对农奴制进行改革，2300万农奴获得了释放，但矛盾依然没有解决，社会结构并没有因农奴制废除而产生很大的变化，农民依然受到地主的压迫，工人阶级也一直被工厂主们剥削，在往后几十年的时间里，革命也在不断地爆发又被镇压。
到1917年，此时正值第一次世界大战，俄国在战争中屡战屡败，军队伤亡惨重，战争也导致国内经济崩溃，通货膨胀严重，战争加上早已积压已久的阶级矛盾促使了二月革命的爆发，二月革命迫使尼古拉二世退位，并成立了临时政府，然而临时政府也未能解决土地、和平、粮食等问题。在这样的背景下，列夫·特雷门从军官电子技术学校毕业，并参与了俄国首批广播电台的建设工作。同年11月，俄国十月革命爆发，以列宁为首的布尔什维克党推翻了临时政府，建立苏维埃俄国（苏俄），布尔什维克掌权后，为了巩固政治地位，在1917～1922年一直持续着苏俄内战。1919～1920年列夫·特雷门因被指控从事反革命活动而被关监狱。
出狱后，他加入了洛夫物理技术研究所（Ioffe Institute），在那里他担任了一个研究小组的负责人，这些研究最终促使他在1920年发明了特雷门琴。
值得一提的是，1927年列夫·特雷门向爱因斯坦展示过他的发明，并在同年去往纽约，在1928年获得了特雷门琴发明专利，直到1938年回到苏联（这10年时间里他长期生活在美国，然后是被特工秘密带回去的），回到苏联后不久他又被关押进监狱了，到1950年才被放出来。
在被关押进监狱期间，他有一个很出名的发明：金唇（The Thing）。
金唇是一款无源窃听器，1945年苏联少年先锋队把这个“礼物”送给了美国驻苏联大使馆，虽然当时美国人已经发现了徽章里面有特殊结构，怀疑过是窃听装置，但因为没有电池之类的供电物品（谁能想到不用供电的窃听器呢？），就把它当成了徽章制作的必要物件，这个徽章被挂在了大使馆办公室里，直到7年后才发现出端倪。1950年出狱后，他作为科技人才继续为苏联工作，到了1991年苏联解体后，才短暂地重返美国，最终于1993年去世。在特雷门琴风靡的时期，出现过一批专业表演特雷门琴的艺术家，例如克拉拉·罗克莫尔。
14.2 特雷门琴发声原理
特雷门琴核心依赖“可变电容”这一概念，它有两根天线：
分别放在左手边和右手边，垂直的一般用来调整振荡频率，环形天线用于调整VCA。如果观看特雷门琴的演奏视频，会看到操作者们可以用手隔空操作，这样的操作方式比绝大多数乐器要科幻得多，而秘密就在于这两个天线上。
考虑一块接地的平行板电容，对电容充电，上下极板会带有数量相同，极性相反的电荷，这些电荷可以在空间中形成电场，方向由正电荷指向负电荷：
与之类似地，如果空间中本来就存在电场呢？并将一根天线放入到这个空间里，把天线当成电容的一个极板，天线上的自由电子会受这个空间电场的吸引，最终我们可以定义出一个从天线到地的等效电容\(C_{\text{eq}}\) （电容很小，在皮法级别）：
\(C_{\text{eq}}\) 很难准确计算，特雷门琴天线长度一般为\(40 \sim 60\,\text{cm}\)，\(C_{\text{eq}}\) 大多在\(10\,\text{pF}\)附近。
而当手靠近天线时，人体充当导体，从天线到手到地形成了一条新的路径，这会增加从天线“看向地”的等效电容，这个电容用\(\Delta C\)表示：
新的等效总电容变为了\(C_{\text{eq}}\) + \(\Delta C\)，\(\Delta C\)随着手不断接近而变大，足够靠近时大约在\(2 \sim 5\,\text{pF}\)之间。
这改变的 \(\Delta C\) 可以用来调整LC振荡电路，导致频率产生变化，在此我们需要回顾下LC振荡电路。对并联的理想电感和电容，若存在初始条件，电路会自激振荡在频率为\(\frac{1}{2\pi\sqrt{LC}}\)处，改变电容就能改变振荡频率，但特雷门琴里很少见到直接用天线的对地电容当公式里的 \(C\) 的，而是当作LC的谐振负载。
所谓谐振负载就是一个并联的LC振荡器（也称主振荡器）再并联上一个电容和电感串联在一起的支路：
现在单独考虑\(L_2\) 和\(C_2\) 作为负载时，对于不同频率的输入信号，其输入阻抗是如何变化的。
串联\(L_2\) 和\(C_2\) 在拉式域上的阻抗为\(H(s) = s L_2 + \frac{1}{s C_2}\)，定义\(\omega_c = \frac{1}{\sqrt{L_2 C_2}}\)（\(\omega_c\) 是角频率），当输入频率为\(\omega_c\) 时，把\(H(s)\)带入为\(H(j\omega_c)\)：
\[ \begin{aligned} H(j\omega_c) &= j\omega_c L_2 + \frac{1}{j\omega_c C_2} \\ &= j\frac{1}{\sqrt{L_2 C_2}} L_2 + \frac{\sqrt{L_2 C_2}}{jC_2} \\ &= \frac{-\sqrt{L_2 C_2} + \sqrt{L_2 C_2}}{jC_2} \\ &= 0 \end{aligned} \tag{14.1}\]
此时\(L_2\) 和\(C_2\) 的影响消失了，在\(\omega_c\) 的输入频率下，负载变为了纯电阻性负载，非理想电感电容时，支路相当于一个电阻R。
当输入信号频率\(\omega' < \omega_c\) 时，此时有：
\[ H(j\omega') = j\left( \omega' L_2 - \frac{1}{\omega' C_2} \right) \tag{14.2}\]
由于\(\omega' < \omega_c\) ，带入\(\omega' L_2 - \frac{1}{\omega' C_2}\)可得其结果小于0，假设\(\omega'L_{2} - \frac{1}{\omega'C_{2}} = - k\)，则：
\[ \begin{aligned} H(j\omega') &= -jk = \frac{-k}{-j} = \frac{1}{j\left( \omega' \frac{1}{\omega' k} \right)} \\ \Rightarrow H(s) &= \frac{1}{s \frac{1}{\omega' k}} \end{aligned} \tag{14.3}\]
从 式 14.3 可以看出，此时负载会呈现出电容性，同理当输入频率大于\(\omega_c\) 时，负载会呈现出电感性，电容或电感大小与输入频率有关。
回到 图 14.6，\(L_1\) 、\(C_1\) 的振荡频率本来为\(\frac{1}{2\pi\sqrt{L_1 C_1}}\)，当\(\frac{1}{2\pi\sqrt{L_2 C_2}} = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_1 C_1}}\)时，\(L_1\) 、\(C_1\) 相当于并联了一个电阻，这不会改变主振荡器的振荡频率。
此时若\(C_2\) 变小，\(\frac{1}{2\pi\sqrt{L_2 C_2}}\)会变得更大，假设主振荡器的振荡频率继续为\(\frac{1}{2\pi\sqrt{L_1 C_1}}\)，则负载会呈现电容性（输入频率\(f' = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_1 C_1}} < f_c = \frac{1}{2\pi\sqrt{L_2 C_2}}\)），相当于\(L_1\) 、\(C_1\) 并联了一个电容\(C'\)。
并联电容会使总电容变大：
这会拉低主振荡器的振荡频率（因为LC振荡电路的电容变大了）。可以思考一个问题：频率会降低到什么程度呢？
Moog 的特雷门琴 Etherwave（图 14.2）也是基于这样的设计，手靠近时，负载和主振荡器谐振，主振荡器频率保持不变大约为\(285\,\text{kHz}\)。手远离后，振荡频率下降，最低下降到\(282\,\text{kHz}\)。这里会有两个问题，第一是为什么要有那么高的振荡频率，第二是人类耳朵能听到的范围不会高于\(20\,\text{kHz}\)，我们应该如何听到这些高频的声音。
首先回答第一个问题，前面提到过，无论如何手带来的电容变化是很小的，要想实现小电容下频率跨越好几个八度，需要精心去计算合适的电感值，这样没法保证最终的频率就在人类的听觉范围内。
为了提取声音，特雷门琴用到了外差原理（heterodyne principle），外差原理用于提取两个信号的差频，考虑两个不同频率的正弦波\(\sin(2\pi f_1 t)\)和\(\sin(2\pi f_2 t)\)，将这两个信号相乘，利用三角函数的公式可得：
\[ \sin(2\pi f_1 t) \sin(2\pi f_2 t) = \frac{1}{2}\left( \cos(2\pi (f_1 - f_2)t) - \cos(2\pi (f_1 + f_2)t) \right) \tag{14.4}\]
计算出来得到的信号包含有|\(f_1\) − \(f_2\) |和|\(f_1\) + \(f_2\) |这两个频率，然后通过低通滤波器把频率为|\(f_1\) + \(f_2\) |的信号过滤掉，这样就只剩下了频率为|\(f_1\) − \(f_2\) |的差频信号。
Moog 特雷门琴里有一个固定频率为\(285\,\text{kHz}\)的信号源，用于提取\(0 \sim 3\,\text{kHz}\)的差频信号：
基本原理知道了，还有个最大的问题就是， 图 14.6 的电路根本无法起振，原因在第7章提到过，因为电感并联电阻的存在，在电感和电容不断能量交换的过程中，电阻会损失掉部分能量，使振幅越来越低。
解决方法是需要一个“负电阻”来弥补并联电阻的损失，考虑如下结构并画出小信号模型：
从端口施加一个测试电压\(v_x\) ，并计算电流\(i_x\) ，忽略三极管基极电流，可得：
\[ \begin{aligned} i_x &= - \frac{v_x}{r_{m1} + r_{m2}} \\ \Rightarrow \frac{v_x}{i_x} &= - (r_{m1} + r_{m2}) \end{aligned} \tag{14.5}\]
如果\(M_1\) 和\(M_2\) 匹配良好，小信号模型下负电阻大小等于\(-\frac{2}{g_m}\)（需要\(M_1\) 管的直流电压也要在\(V_b\) ）。Moog 特雷门琴使用了类似的结构：
其中可变电感用于调谐，让手靠近天线时振荡频率在\(285\,\text{kHz}\)。有一点需要说明的是，从 图 14.10 可以看到，LC的上端是接在\(12\,\text{V}\)电源电压的，其实接\(5\,\text{V}\)、\(8\,\text{V}\)或\(10\,\text{V}\)并没有太大差别，线性电路上的信号都可以看成是直流信号和交流信号的叠加：
对于交流信号而言，直流电压相当于是交流上的地（GND），它不会影响交流信号本身。而接\(12\,\text{V}\)是因为 图 14.10 的 \(M_1\) 管集电极电压不能太低，\(M_1\) 和\(M_2\) 都处于放大区才有“负电阻”的效果。
Moog 特雷门琴里另一个固定振荡频率的振荡器结构和 图 14.10 类似，只是没有了天线和\(40\,\text{mH}\)电感，并额外增加了一个结构用于微调电容大小，这个结构我们可以使用一个变容二极管来简单地替代（交流信号上就是并联了一个可以调整的电容）：
上图中 \(D_1\) 就是变容二极管（不是普通二极管，不能乱用普通二极管替代），变容二极管工作在反偏电压下，因此 \(V_{\text{control}}\) 不能过高导致正向导通，反偏电压越高，电容越小，例如MV2109 电容变化范围是\(4 \sim 30\,\text{pF}\)，反向电压不能高于\(20 \sim 30\,\text{V}\)，否则会被反向击穿。
14.3 差频电路
提取差频，可以使用下面这个电路：
两个信号通过电容在 \(R_1\) 处叠加，\(R_1\) 还能调整信号输入幅度（调到正负\(5\,\text{V}\)左右），然后输入到三极管基极，输出通过4 个 RC滤波器过滤掉高频，最后留下差频信号。
14.4 音量控制
音量天线形状通常是个圆环，原理类似，手越靠近频率越高，设置手靠近时的频率为带通滤波器的中心频率，当手远离后，振荡频率下降，通过带通滤波器后幅度变小，然后通过检测信号幅度生成VCA的控制信号：
