4 第四章 电流镜及应用
今日向何方，直指武夷山下。山下山下，风展红旗如画。
在模拟合成器中，包括压控振荡器、压控放大器等，很多东西虽然名字叫压控，但其实多是用电流来控制的，这就要求电路能产生并复制电流。我们将从电流镜开始，并前往运放的世界。
4.1 电流镜
上一章提到过差分对下面挂着一个电流源，理想电流源在任意电压下都能提供稳定的电流。但世界上没有绝对理想的事物，必须要学会在理想和现实中妥协。非理想的电流源可以看成是一个理想电流源并联了一个很大的电阻：
\(R_o\) 被称为电流源内阻。有电压的时候会有电流流过 \(R_o\)，使得电流源总电流增加或减少。但在 \(R_o\) 足够大的情况下，可以认为输入电压在一个比较大的范围内不会改变电流源电流大小。
回顾三极管的特性，集电极电流主要由 \(V_{BE}\) 决定，\(V_{CE}\) 在一阶近似下通过 \(r_o\) 对集电极电流进行抬升。假设 \(r_o\) 为 100 千欧，即使在双电源 24 伏的跨压下，\(r_o\) 流过的电流也仅仅为 0.24 毫安；当 \(I_C\) 偏置在 10 毫安时，最大电流波动只占 2.4%。因此三极管在 \(V_{BE}\) 固定的情况下，可以作为一个电流源来使用：
电流源电流大小为 \(I\)，内阻为 \(r_o\)，电流从集电极流入，对外部电路来说电流源汲取电流。若想要提供电流，可以使用 PNP 三极管，PNP 三极管是 NPN 三极管的对偶：
和 NPN 三极管类似，PNP 三极管导通需要 \(V_{EB}\) 大于导通电压，\(V_{EC}\) 要大于 0.2 伏，电流满足 \(I_E = I_B + I_C\)，从发射极流入、集电极流出。当作电流源时，对外部电路来说就是提供电流。
现在器件有了，假如我想偏置一个 1 毫安的电流，那大概是一个 0.6 或 0.7 伏的 \(V_{BE}\)。然而真正的考验是，三极管制造工艺上的不确定性。
三极管通过在硅片上不同区域掺杂改变材料特性，之后再被切割。即使是在同一个硅片上，不同区域也可能存在很大的差异，这些会影响三极管自身的各项参数，让我们难以真正精确地计算出所需要的偏压是多少。其次，三极管在工作过程中，例如 \(I_S\) 会随着温度的升高而升高，这意味着需要不断去调整偏置电压才能维持电流不变。直接给 \(V_{BE}\) 加一个固定电压来设定电流，一定会导致电流极不稳定，且不可预测。
更好的方法是透过电流镜来偏置。顾名思义，电流镜就像一面镜子，可以比较精确地复制电流。如果存在一个大小稳定的电流，那么直接复制过来使用将会提高很多效率。
下图描绘的是一个基本电流镜结构：
\(I_{\text{ref}}\) 是参考电流，由其它方式产生且足够稳定。\(M_1\) 和 \(M_2\) 会选择参数尽可能相同的一对三极管，它们的基极相互连接在一起，发射极也接到同一电位，这样可以保证 \(V_{BE1}\) 和 \(V_{BE2}\) 相同。三极管参数接近时，\(I_{C2}\) 可以相当精确地复制 \(I_{C1}\)，从而给 \(M_2\) 上方电路提供偏置。\(M_1\) 的基极和集电极连接在一起，形成自偏置（self-bias），这样可以保证 \(M_1\) 一定工作在放大区且 \(V_{BE1}\) 自动被电路设置为合适的值。即使外界环境发生改变，\(M_1\) 和 \(M_2\) 放置接近能保证受到的影响相同而一直保持匹配。
计算流过两个三极管的集电极电流，假设 \(M_1\) 和 \(M_2\) 完全相同：
\[ \begin{aligned} I_{\text{ref}} &= I_{C1} + I_{B1} + I_{B2} \\ &= I_{C1} + 2I_{B1} \end{aligned} \tag{4.1}\]
同时有：
\[ I_{C1} = \beta I_{B1} \tag{4.2}\]
\[ I_{C1} = I_{C2} = \frac{I_{\text{ref}}}{1 + \frac{2}{\beta}} \tag{4.3}\]
\(\beta\) 越大，电流源 \(M_2\) 越接近 \(I_{\text{ref}}\)。当 \(M_1\) 需要镜像更多条支路的时候：
如图所示， 式 4.3 中 \(\beta\) 上方的系数会变为 \(N\)，因为需要从 \(I_{\text{ref}}\) 中分出所有三极管的基极电流，这样会导致所有三极管的集电极电流减小。
电流镜可以用分立三极管搭建，也可以选择封装在一个芯片里的三极管对（matched pairs）。若用独立的三极管，需要用万用表挑选出放大倍数接近的两只管子。
为了改善基极对参考电流的分流，创造出来了 \(\beta\)-帮助型电流镜：
\(Q_1\) 的存在可以放大电流，因此更少的电流流入 \(Q_1\) 基极就可以做到给 \(M_1\) 到 \(M_N\) 提供偏置。这种情况下，每个三极管的集电极电流：
\[ I_C = \frac{I_{\text{ref}}}{1 + \frac{N}{\beta^2}} \tag{4.4}\]
类似的还有威尔逊电流镜：
威尔逊电流镜的自偏置（self-bias）是绑在另一边的，这意味着它需要一个类似于负反馈的机制让 \(M_1\) 的电流和 \(I_{\text{ref}}\) 匹配。\(M_3\) 的作用就是用于调节使电路可以镜像电流。根据 图 4.7 中画出的电流，可以列出等式：
\[ \begin{aligned} I_{\text{ref}} &= I_{C1} + I_{B3} \\ (\beta + 1)I_{B3} &= I_{C2} + 2I_{B2} \\ \beta I_{B2} &= I_{C2} \end{aligned} \tag{4.5}\]
\(I_{C1}\) 等于 \(I_{C2}\)（\(V_{BE}\) 相同），这样可以解出 \(I_{C2}\)：
\[ I_{C2} \approx \frac{I_{\text{ref}}}{1 + \frac{2}{\beta^2}} \approx I_{C3} \tag{4.6}\]
上面三种类型的电流镜在计算时都假定了三极管之间是相匹配的，但现实绝不是假设那般美好。世界上不存在特性完全一样的两只三极管，即使是在很精密的集成电路中。
当把差异性考虑进来，在 图 4.4 中即使 \(V_{BE}\) 一样电流也不会完全相同。为了便于计算，我们可以对三极管之间的差异进行以下等效：
对于一对不匹配的三极管 \(M_1\) 和 \(M_2\)，在 \(I_{\text{ref}}\) 的参考电流下，把所有不匹配的因素等效为一个 \(\Delta V_{BE2}\)，使 \(M_1\) 和 \(M_2\) 变为理想的匹配三极管对。这样 \(I_{C1}\) 与 \(I_{C2}\) 之间的差异就可以用 \(\Delta V_{BE2}\) 描述，从而能使用小信号模型更方便地分析：
\(M_1\) 和 \(M_2\) 已被理想化。在 \(V_{in}\)（\(\Delta V_{BE2}\)）不显著改变偏置的情况下，\(r_{m1} \approx r_{m2}\)。对 \(M_1\) 来说，\(I_{\text{ref}}\) 在小信号中是断路。为了分析 \(V_{in}\) 对 \(M_2\) 的影响，可以选择 \(V_{in}\) 负向端参考电压为零，这样计算：
\[ I_{C2} = \alpha I_{E2} = \alpha \frac{V_{in}}{r_{m2}} \tag{4.7}\]
因此 \(\Delta V_{BE2}\) 带来的集电极电流改变在 \(\alpha \frac{V_{in}}{r_{m2}}\) 级别。\(r_{m2}\) 一般为几十欧，\(\Delta V_{BE2}\) 约在十几毫伏。如果能增大 式 4.7 分母的大小，那么电流镜因为不匹配导致的电流差异将会变得更小，这样就产生了带有发射极退化（emitter degeneration）的电流镜：
简单来说就是在发射极下面加上一个大电阻，且电阻阻值大小要相同（即 \(R_1 = R_2\)），这样由 \(M_1\) 和 \(M_2\) 之间不匹配带来的集电极电流差异可以被极大地减小。
如何从 NPN 转换到 PNP 三极管电流镜呢？很简单，复制了电流的 NPN 管本身就已经是个电流源了，它自己也可以作为 \(I_{\text{ref}}\) 复制给 PNP 管：
4.2 运算跨导放大器
从这里开始我们将走入运放中去。回想上一章讲的小信号模型和基本放大电路，基本上三极管的行为是把输入信号的电压变化转为电流的变化，再让这个变化的电流流过一个阻值很大的电阻，这样在电阻上就会产生很大的跨压变化作为放大器的输出。而运算跨导放大器（OTA）的作用就是把输入电压转化为电流。
为了便于分析 OTA，在此不可避免地需要介绍一个定理：对于一个有输入端和输出测量端的线性电路或者工作在线性区域的电路，存在以下等效：
这个等效被称为诺顿等效。\(r_{in}\) 是在当前直流下的输入电阻，测量方式和前一章的方法一样，也就是小信号模型下输入电压和输入电流之比；\(G_m\) 定义为电路等效跨导，表明输入电压可以引导出来的电流大小，测量 \(G_m\) 需要把输出端用导线短路到地，计算当前输入电压下导线流过的电流和电压的比值；输出电阻 \(r_{out}\) 同样等于当前直流下输入电压为零时（输入端接地），从输出端口看进去的电阻。
有了诺顿等效定理，就能很方便地分析 OTA。还记得以电阻为负载的差分放大器吗：
在差分小信号输入下，变化的电流会形成环路流过两个电阻。但如果只取单端输出 \(V_{out2}\)，输出幅度会减少一半。如何在单端输出的情况下不损失另一半电流带来的增益？这就有了电流镜负载的差分放大电路：
同样在差分小信号下画出等效小信号模型。因为 \(M_3\)、\(M_4\) 只是组成电流镜，作用是复制 \(M_3\) 的电流，所以不用画出它们的小信号：
当有 \(V_{in}\) 输入时，流过 \(r_{m1}\) 和 \(r_{m2}\) 的电流为：
\[ i = \frac{V_{in}}{r_{m1} + r_{m2}} \tag{4.8}\]
则 \(I_{C1} = \alpha i\)。这个电流从 \(M_3\) 过来，所以 \(M_4\) 会复制这个电流。由 \(V_{in}\) 引导出的电流和 \(M_4\) 复制过来的电流会在 \(V_{out}\) 处重合。当外部接有负载的时候，\(2\alpha i\) 的电流就会流入到负载里面去。因此 图 4.14 的电路本质上是把电压转化为电流，是一个 OTA。\(r_{m1}\) 和 \(r_{m2}\) 与偏置电流大小有关，如果可以用电压改变偏置电流大小，也就可以改变 \(V_{out}\) 输出电流大小，从而实现压控的效果，可以组成压控放大器。
计算 图 4.15 的诺顿等效。从 图 4.15 中可以看出输入为 \(V_{in}\) 时，电流是 \((1 - \alpha)i\)，则输入电阻：
\[ r_{in} = \frac{V_{in}}{(1 - \alpha)i} = \beta (r_{m1} + r_{m2}) = r_{\pi 1} + r_{\pi 2} \approx 2r_{\pi 1} \tag{4.9}\]
输出端短路到地，流过的电流大小为 \(-2\alpha i\)（负号表示电流方向与 图 4.12 输出端短路电流方向相反），因此跨导：
\[ G_m = -\frac{2\alpha i}{V_{in}} = -\frac{2\alpha}{r_{m1} + r_{m2}} \approx -\alpha g_{m1} \tag{4.10}\]
输出电阻在输入接地后，往上看看到 \(M_4\) 集电极，电阻为 \(r_{o4}\)；往下看看到 \(M_2\) 集电极，电阻为 \(r_{o2}\)。输出电阻为两者并联：
\[ r_{out} = r_{o2} \parallel r_{o4} \approx \frac{r_{o2}}{2} = \frac{r_{o1}}{2} \tag{4.11}\]
这个诺顿等效是从 图 4.15 得到的，因此计算的也是交流变化的小信号，而不是 图 4.14 的直流等效。从等效图中得知，当 \(V_{out}\) 端没接负载或者接高输入阻抗的跟随器时，由 \(V_{in}\) 引导出的电流会流过自己的输出阻抗，这会产生输出电压 \(-\frac{\alpha}{2} g_{m1} r_{o1} V_{in}\)（负号表明输出端实际电压方向与等效电路定义的电压方向相反），因此增益：
\[ A = \frac{V_{out}}{V_{in}} = -\frac{\alpha g_{m1} r_{o1}}{2} \approx -\frac{g_{m1} r_{o1}}{2} \tag{4.12}\]
这也解释了上一章为什么接低阻负载，放大器增益减小。 图 4.16 接入低负载后，新的输出电阻变成了负载电阻和 \(\frac{r_{o1}}{2}\) 并联，并联结果会比负载电阻更小，但 \(V_{in}\) 引导出来的电流大小不变，流过新输出电阻的电压就会变得很小。
三极管天生适合建模成 OTA，输入电压会转化成电流，高增益源自电流流过很大的输出电阻。对目前为止介绍过的放大电路进行诺顿等效，会发现除了跟随器，其它放大电路的输出电阻都很大，一旦接低负载，输出电阻就会大幅下降，增益极速下跌。
因此对于 OTA 的分析，想要有电压增益就只能在后面接跟随器；但如果只想获得输出电流，那就需要接低负载（仔细体会 图 4.16 输出端）。